Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M,經過B,M兩點的⊙O交BC于點G,交AB于點F,FB恰為⊙O的直徑.

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）當BC=4,cosC=時，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）通過證明OM⊥AE即可證明AE與⊙O相切。

(2）半徑為

【解析】試題分析：（1）連接OM．根據OB=OM，得∠OMB=∠OBM，結合BM平分∠ABC交AE于點M，得∠OBM=∠EBM，則OM∥BE；根據等腰三角形三線合一的性質，得AE⊥BC，則OM⊥AE，從而證明結論；（2）設圓的半徑是r．根據等腰三角形三線合一的性質，得BE=CE=2，再根據解直角三角形的知識求得AB=6，則OA=6-r，從而根據平行線分線段成比例定理求解；

試題解析：

(1) 連接OM，則OM＝OB，如圖所示：

∴∠OBM=∠OMB

∵BM平分∠ABC

∴∠OBM=∠EBM

∴∠OMB=∠EBM

∴OM∥BE

∴∠AMO=∠AEB

而在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分線

∴AE⊥BC

∴∠AMO=∠AEB=90°

∴AE與⊙O相切.

(2) 在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分線

∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB

∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==

∴AB=6

設⊙O的半徑為r,則AO=6-r

∵OM∥BC

∴△AOM∽△ABE

∴=

即 =

∴r=