Question

【題目】 在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，當△CDP為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線的頂點為E，EF⊥x軸于點F，N是直線EF上一動點，M（m，0）是x軸一個動點，請直接寫出CN+MN+MB的最小值以及此時點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）當△CDP為等腰三角形時，點P的坐標為（1，2）或（2，1）或（3-，）；（3）CN+MN+MB的最小值為，N坐標為（1，3-），M坐標為（，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；

（2）由待定系數法即可求得直線BC的解析式，再設P（t，3-t），即可得D（t，-t2+2t+3），即可求得PD的長，然后分三種情況討論，求點P的坐標；

（3）如圖2，構造BG與x軸成30°角，將MB轉化為線段M到BG的距離，從而可知C、M、N、B′在同一條直線上時，CN+MN+MB取最小值，根據CG的長和∠CGB=60°即可求出最小值．根據直線BG求出直線CB′解析式，即求出MN坐標．

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經過點A、B、C，把A（-1，0），C（0，3）代入解析式得，

∴，

解得b=2，c=3．

故該拋物線解析式為：y=-x2+2x+3．

（2）令-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

即B（3，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b′，

則，

解得：，

故直線BC的解析式為y=-x+3；

∴設P（t，3-t），

∴D（t，-t2+2t+3），

∴PD=（-t2+2t+3）-（3-t）=-t2+3t，

∵OB=OC=3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，

當CD=PC時，則∠CPD=∠CDP，

∵PD∥y軸，

∴∠CPD=∠OCB=45°，

∴∠CDP=45°，

∴∠PCD=90°，

∴直線CD的解析式為y=x+3，

解得或，

∴D（1，4），

此時P（1，2）；

當CD=PD時，則∠DCP=∠CPD=45°，

∴∠CDP=90°，

∴CD∥x軸，

∴D點的縱坐標為3，

代入y=-x2+2x+3得，3=-x2+2x+3，

解得x=0或x=2，

此時P（2，1）；

當PC=PD時，∵PC=t，

∴t=-t2+3t，

解得t=0或t=3-，

此時P（3-，）；

綜上，當△CDP為等腰三角形時，點P的坐標為（1，2）或（2，1）或（3-，）．

（3）CN+MN+MB的最小值為，N坐標為（1，3-），M坐標為（，0）．

理由如下：

如圖，取G點坐標為（0，-），連接BG，

∵B（3，0），

∴直線BG解析式為：y=，

∴tan∠GBO=30°，

過M點作MB′⊥BG，∴，

∴CN+MN+MB=CN+MN+B′M，

∴CN+MN+MB取最小值時，C、M、N、B′在同一條直線上，

即CB′⊥BG，

設直線CB′解析式為，∵C（0，3）

故直線CB′解析式為為，

∵拋物線的頂點為E坐標為（1，4），EF⊥x軸，N在EF、CB′上，

∴N坐標為（1，3-），

M（m，0）是x軸一個動點，也是CB′與x軸交點，

∴M（，0）．

∵CG=3+，∠CGB=60°，

∴CB′=CGsin∠CGB=（3+）×=，

綜上所述：CN+MN+MB的最小值為，N坐標為（1，3-），M坐標為（，0）．