Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以BC為直徑作⊙ O交AC于點E，過點E作AB的垂線交AB于點F，交CB的延長線于點G．

（1）求證：EG是⊙O的切線；

（2）若BG=OB，AC=6，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根據中位線定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可證EG是⊙O的切線
（2）易證得△OBE是等邊三角形，根據三角函數求BE，CE的長，再根據三角形的中位線的性質即可求得BF的長．

（1）如圖：連接OE，BE，

∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∵BC是直徑，
∴∠CEB=90°，且AB=BC，
∴CE=AE，且CO=OB，
∴OE∥AB，
∵GE⊥AB，
∴EG⊥OE，且OE是半徑，
∴EG是⊙O的切線；

(2)∵BG=OB，OE⊥EG，

∴BE=OG=OB=OE，

∴△OBE為等邊三角形，

∴∠CBE=60°，

∵AC=6，

∴CЕ=3，BЕ==，

∴OE=，

∵ОB=BG，OE//AB，

∴BF=OE=．