Question

【題目】已知函數，（為常數）．

（1）當時，

①求此函數圖象與軸交點坐標．

②當函數的值隨的增大而增大時，自變量的取值范圍為________．

（2）若已知函數經過點（1，5），求的值，并直接寫出當時函數的取值范圍．

（3）要使已知函數的取值范圍內同時含有和這四個值，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（0,3）；②x≤或x≥1 ；（2）或8≤y＜20；（3）≤k＜或k≥2．

【解析】

（1）①將代入函數關系式得，再將x＝0代入即可求得與y軸的交點坐標；

②先將兩個二次函數關系式分別配成頂點式，再根據開口方向、對稱軸及自變量的取值范圍即可判斷得解；

（2）將（1,5）分別代入兩個函數關系式求得k的值，再逐個檢驗，進而可求得正確的函數關系式，再根據x的取值范圍確定y的取值范圍即可；

（3）分類討論，當k≤0時，當0＜k＜2時，當k≥2時，畫出相應的函數圖像，討論圖像中的特殊點的坐標即可求得k的取值范圍．

（1）當時，

①∵，

∴把x＝0代入得．

∴此函數圖象與y軸交點坐標為（0,3）．

②當x≤時，

配方得

∵a＝－1＜0，對稱軸為直線x＝－1，

∴當x≤－1，y隨x的增大而增大，符合題意，

當x＞時，，

配方得，

∵a＝1＞0，對稱軸為直線x＝1，

∴當x≥1時，y隨x的增大而增大，符合題意，

綜上所述：當函數的值隨的增大而增大時，自變量的取值范圍為x≤或x≥1；

（2）當k≥1時，

把（1,5）代入，得，

解得無實根．

當k＜1時，

把（1,5）代入，得，

解得（不合題意，舍去），．

∴．

∴

當x＝－2時，將x＝－2代入

得：y＝－4，

當－2＜x≤0時，

配方得

∵a＝1＞0，對稱軸為直線x＝2，

∴當－2＜x≤0時，8≤y＜20，

綜上所述：當－2≤x≤0時，y的取值范圍為或8≤y＜20．

（3）由題意可知，

當k≤0時，函數圖像如圖所示，

則的最大值2k≥－2即可，

解得k≥－1，

∴－1≤k≤0，

當0＜k＜2時，的最大值2k＜4

則當x＞k時，的最小值＜4即可，

將x＝k，y＝4代入得

解得（舍去），

∴0＜k＜，

當k≥2時，的最大值2k≥4，

如圖，此時在左邊的圖像上的最大值不小于4，符合題意，

∴k≥2，

綜上所述：≤k＜或k≥2．