Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC交AC于點E，AC的反向延長線交⊙O于點F．

(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若∠C＝30°，⊙O的半徑為6，求弓形AF的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O的位置關系是相切，理由見解析；（2）

【解析】

（1）連接AD，根據圓周角定理求出∠ADB＝90°，根據等腰三角形的性質求出BD＝CD，根據三角形的中位線求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根據切線的判定得出即可；

（2）求出△FOA是等邊三角形，分別求出扇形FOA和△FOA的面積，即可得出答案．

（1）直線DE與⊙O的位置關系是相切，

理由是：連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵AO＝BO，

∴DO∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵OD過O，

∴直線DE與⊙O的位置關系是相切；

（2）連接OF，過O作OH⊥AF于H，

∵∠C＝30°，AC＝AB，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠FAB＝∠B+∠C＝60°，

∵OF＝OA，

∴△FOA是等邊三角形，

∴AF＝OA＝OF＝6，∠FOA＝60°，

∵OH⊥AF，

∴AH＝FH＝3，由勾股定理得：OH＝，

∴弓形AF的面積S＝S扇形FOA﹣S△FOA＝＝．