Question

【題目】如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．

（1）觀察猜想：線段與線段的數量關系是_____；

（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：

（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若、，請探究線段與線段之間存在怎樣的數量關系？（用含、的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）EF=EG （2）見解析 （3）

【解析】

（1）因為四邊形ABCD是正方形，可得∠BED＝∠DEF＋∠BEF＝90°，根據題意可得，∠GEF＝∠GEB＋∠BEF＝90°，繼而可證∴∠GEB＝∠DEF，然后利用ASA判定Rt△EGB≌Rt△EFD，最后根據全等三角形對應邊相等即可求解．

（2）過點E分別作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分別為H，I，則四邊形EHCI是矩形, 可得∠FEI+∠HEF=∠GEH+∠HEF=90° ，即∠FEI=∠GEH，根據正方形的性質，得出CE平分∠BCD, 可證得EI=EH，利用ASA可判定△FEI≌△GEH，繼而得出結論．

（3）過點E分別作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分別為M,N，同（2）可知，∠FEN=∠GEM

由長方形性質得：∠D=∠ENC=90°,進而可得EN∥AD,EM∥AB，由相似三角形的判定可得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB，再由相似三角形對應邊成比例，等量代換可得，繼而得，根據相似三角形的判定可得△FEN∽△GEM，繼而求解．

證明：（1）EF=EG

∵四邊形ABCD是正方形

∴ED＝EB，∠D＝∠GBE

∵∠GEF＝90°

∴∠GEB＋∠BEF＝90°

∵∠BED＝90°,

∴∠DEF＋∠BEF＝90°

∴∠GEB＝∠DEF

在Rt△EGB和Rt△EFD中，

∴Rt△EGB≌Rt△EFD（ASA）

∴EF＝EG．

（2）成立，證明如下：

如圖，過點E分別作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分別為H，I，則四邊形EHCI是矩形

∴∠HEI=90°

∵∠GEF=90°

∴∠FEI+∠HEF=90°,∠GEH+∠HEF=90°

∴∠FEI=∠GEH

由正方形對角線的性質得，AC為∠BCD的角平分線 ，則EI=EH

在△FEI和△GEH中，

∴△FEI≌△GEH（ASA）

∴EF=EG；

（3）如圖，過點E分別作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分別為M,N

同（2）可知，∠FEN=∠GEM

由長方形性質得：∠D=∠ENC=90°,

∠ABC=∠EMC=90°,AD=BC=b.

∴EN∥AD,EM∥AB.

∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB

∴,，

∴,即

∵∠FEN=∠GEM,∠FNE=∠GME=90°

∴△FEN∽△GEM

∴．