Question

【題目】（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F．

①如圖1，AC＝BC，點E為AC的中點，求證：EF＝EG；

②如圖2，BE平分∠CBA，AC＝2BC，試探究EF與EG的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖3，在△ABC中，若，點E在邊AB上，點D在線段BC的延長線上，連接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE＝2AC，，直接寫出BE的長．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②，理由詳見解析；（2）．

【解析】

（1）①過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，利用等腰直角三角形的性質得到AD=CD，根據三角形中位線的性質證得EN=EM,再證明△EFM≌△EGN即可得到結論；

②作EP⊥AB于點P，EQ⊥CD于點Q，根據BE平分∠ABC，EC⊥BC，EP⊥AB，證得EC＝EP，再證明△ECQ∽△ABC，設CQ＝a，EQ＝2a，根據比例線段求出答案；

（2）過C作CF∥DE，過A作AF⊥AC，交CF于F，連接EF，先證明四邊形EFCD是平行四邊形，得到∠ABC＝∠BEF＝30°，即可證得A、F、B、C四點共圓，再利用三角函數求出答案.

（1）①證明：如圖1，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∴AD＝CD，

∵點E為AC的中點，CD⊥AB，EN⊥DC，

，

，

∴EN＝EM，

∵∠FEB＝90°，∠MEN＝90°，

∴∠NEG＝∠FEM，

在△EFM和△EGN中，，

∴△EFM≌△EGN（ASA），

∴EF＝EG；

②解：，理由如下：

如圖2，作EP⊥AB于點P，EQ⊥CD于點Q，

易證：△EFP∽△EGQ，

∴，

∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EP⊥AB，

∴EC＝EP，

∵EQ∥AB，

∴∠CEQ＝∠A，

∵∠EQC＝∠ACB，

∴△ECQ∽△ABC，

∴，

設CQ＝a，EQ＝2a，則，

∴，

（2）解：如圖3，過C作CF∥DE，過A作AF⊥AC，交CF于F，連接EF，

，

∴∠ABC＝30°，

∵CF∥DE，

∴∠ACF＝∠DMC＝60°，

∴∠AFC＝30°，

∵∠CAF＝90°，

∴CF＝2AC，

∵DE＝2AC，

∴DE＝CF，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

∴EF∥CD，，

∴∠ABC＝∠BEF＝30°，

∵∠AFC＝∠ABC＝30°，

∴A、F、B、C四點共圓，

∴∠FBC+∠CAF＝180°，

∴∠FBC＝90°，

∵EF∥BC，

∴∠BFE＝90°，，

．