Question

【題目】定義：如果一個y與x的函數圖象經過平移后能與某反比例函數的圖象重合，那么稱這個函數是y與x的“反比例平移函數”．例如：y＝+1的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到y＝的圖象，則y＝+1是y與x的“反比例平移函數”．

（1）若（x+3）（y+2）＝8，求y與x的函數表達式，并判斷這個函數是否為“反比例平移函數”？

（2）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（9，0）、（0，3），點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數”y＝的圖象經過B、E兩點，則這個“反比例平移函數”的表達式為　 　；這個“反比例平移函數”的圖象經過適當的變換與某一個反比例函數的圖象重合，請寫出這個反比例函數的表達式　 　．

（3）在（2）的條件下，已知過線段BE中點的一條直線l交這個“反比例平移函數”圖象于P、Q兩點（P在Q的右側），若B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2，是“反比例平移函數”；（2）y＝2+，y＝；（3）點P的坐標為：（7，5）或（15，）．

【解析】

（1）將已知式變形用x表示y，再由“反比例平移函數”的定義即可判斷；

（2）故點E（3，1），將B、E的坐標代入y＝，即可求解；

（3）由（2）可知是的“反比例平移函數”，而且E點與B點是兩函數的對應點，線段BE的中點F為由反比例函數對稱中心，得四邊形PEQB為平行四邊形．四邊形PEQB的面積為16，S△PFB＝4，利用平移對應關系先在求P1（P的對應點），即可求出P點坐標．

解：（1），則，

該函數圖象向右平移3個單位，再向上平移2個單位得到的圖象，

故：函數是“反比例平移函數”；

（2）點A、C的坐標分別為、，點D是OA的中點，則點，

∴直線OB的解析式為：，直線CD的解析式為：，

聯立的方程組：，

解得 ， 故點，

將B、E的坐標代入得：，解得：，

故這個“反比例平移函數”的表達式為，

故變換后的反比例函數表達式為，

故答案為：，；

（3）∵，，線段BE的中點為F，

∴，

由（2）可知：是的“反比例平移函數”，由向下左6個單位，向下2個單位可得，

∴點B與點E、點F與點O是平移的對應點，

所以存在點與所求點P對應，

如圖，由反比例函數中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．

四邊形PEQB的面積為16，，

，

I.當點P在點B左側時，設其對應點坐標為設，則在E點左側，如圖：簡化構造矩形求面積得，

．

，解得：，而，

故，，故：，

點P的坐標為．

.當點P在點B右側時，對應如圖，同理可得點P的坐標為，

綜上，點P的坐標為：或