Question

【題目】在中，，，是線段上的點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且．

（1）觀察猜想

如圖1，若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則__________，___________．由此，我們猜想線段，，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_________．

（2）類比探究

將在平面內(nèi)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接，，，，猜想在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

（3）解決問題

將在平面內(nèi)繞點(diǎn)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫出線段的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）成立，證明詳見解析；（3）的最大值為．

【解析】

（1）根據(jù)三等分的定義求出比值即可，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題；

（2）證明△AMD∽△ANE，△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可；

（3）由（2）可知，求線段的最大值，即為求線段的最大值.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴；

（2）成立，證明如下：

由（1）可知，，且，，

∴，，，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，

∴；

∴；

（3）由（2）可知，

∴求線段的最大值，即為求線段的最大值，

由題意，可得，

在中，由三角形的三邊關(guān)系，可得，

∴當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，，即線段的最大值為2，

∵，

把代入得，

∴線段的最大值為．