Question

【題目】涌泉鎮是中國無核蜜桔之鄉，已知某蜜桔種植大戶馮大爺的蜜桔成本為2元/千克，如果在未來90天蜜桔的銷售單價p（元/千克）與時間t（天）之間的函數關系式為p=，且蜜桔的日銷量y（千克）與時間t（天）滿足一次函數關系，其部分數據如下表所示：

時間t/天	1	10	20	40	70	90
日銷售量y/千克	105	150	200	300	450	550

（1）求y與t之間的函數表達式；

（2）在未來90天的銷售中，預測哪一天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少元？

（3）在實際銷售的后50天中，馮大爺決定每銷售1千克蜜桔就捐贈n元利潤（n＜5）給留守兒童作為助學金，銷售過程中馮大爺發現，恰好從第51天開始，和前一天相比，扣除捐贈后的日銷售利潤逐日減少，請求出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=5t+100；（2）前60天利潤最大，最大利潤為3200元；（3）n的取值范圍為1.9≤n＜5．

【解析】

（1）運用待定系數法求出函數解析式；（2）設第x天的銷售利潤為w元．當1≤t≤40時，由題意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；當t=40時w最大值為3000元；當41≤t≤90時，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，再求函數最值；（3）設每天扣除捐贈后的日銷售利潤為m元．由題意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，根據實際得49.5≤60-5n＜50.5，1.9＜n≤2.1，可進一步求出n的取值范圍.

解：（1）設y=kt+b，把t=1，y=105；t=10，y=150代入得到：，

解得：，

∴y=5t+100；

（2）設第x天的銷售利潤為w元．

當1≤t≤40時，由題意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000；

當t=40時w最大值為3000元；

當41≤t≤90時，w=（5t+100）（-t+16-2）=-t2+60t+1400，

∵對稱軸t=60，a=-＜0，

∴在對稱軸左側w隨x增大而增大，

∴t=60時，w最大值=3200，

綜上所述前60天利潤最大，最大利潤為3200元．

（3）設每天扣除捐贈后的日銷售利潤為m元．

由題意m=（5t+100）（-t+16-2）-（5t+100）n=-t2+（60-5n）t+1400-100n，

∵在后50天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而減少，

∴49.5≤60-5n＜50.5，

∴1.9＜n≤2.1．

又∵n＜5，

∴n的取值范圍為1.9≤n＜5．