Question

【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，請指出實數m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）當a=時，△BDC的面積最大，此時P（， ）；（3）m的變化范圍為：﹣≤m≤5

【解析】試題分析：

解：

（1）由題意得：，解得： ，

∴拋物線解析式為；

（2）令，

∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b′，

∴，解得： ，

∴直線BC的解析式為，

設P（a，3-a），則D（a，-a2+2a+3），

∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，

∴S△BDC=S△PDC+S△PDB

，

∴當時，△BDC的面積最大，此時P（， ）；

（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴OF=1，EF=4，OC=3，

過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，

當M在EF左側時，

∵∠MNC=90°，

則△MNF∽△NCH，

∴，

設FN=n，則NH=3-n，

∴，

即n2-3n-m+1=0，

關于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，

得m≥，

當M在EF右側時，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，

作EM⊥CE交x軸于點M，則∠FEM=45°，

∵FM=EF=4，

∴OM=5，

即N為點E時，OM=5，

∴m≤5，

綜上，m的變化范圍為： ≤m≤5．