Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接，點為拋物線對稱軸上一動點．

（1）求直線的函數表達式；

（2）連接，求周長的最小值；

（3）在拋物線上是否存在一點．使以為頂點的四邊形是以為邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標為或．

【解析】

（1）先求出點B，點C坐標，用待定系數法可求解析式；

（2）由△OCD周長=6+OD+CD，可得OD+CD有最小值時，△OCD周長的存在最小值，作點O關于對稱軸x=2的對稱點O'（4，0），當點C，點D，點O'共線時，O'D+CD的值最小，最小值為CO'的長，即可求解；

（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質可求解．

（1），

令，得，令，得，，

設直線的函數表達式為，

將點的坐標代入表達式，得

，解得．

直線的函數表達式為；

（2），

拋物線的對稱軸為直線．

的值固定，

要求周長的最小值，只需求出的最小值．

如解圖①，作點關于拋物線對稱軸的對稱點，連接交拋物線對稱軸于點，此時有最小值，即的長，

則

，

．

，

周長的最小值為；

（3）存在，點的坐標為或．

∵以B、C、D、E為頂點的四邊形是以BC為邊的平行四邊形，

∴xB-xD=xC-xE，或xD-xC=xE-xB，

∴6-2=0-xE，或2-0=xE-6

∴xE=-4或8，

∴點E（-4，-10）或（8，-10）