Question

【題目】如圖，拋物線l1：y=x2﹣4的圖象與x軸交于A，C兩點，拋物線l2與l1關(guān)于x軸對稱．

（1）直接寫出l2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點B是拋物線l2上的動點（B與A，C不重合），以AC為對角線，A，B，C三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點為D，求證：D點在l2上．
（3）當(dāng)點B位于l1在x軸下方的圖象上，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它面積的最值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵l1與x軸的交點A（﹣2，0），C（2，0），頂點坐標(biāo)是（0，﹣4），l1與l2關(guān)于x軸對稱，

∴l(xiāng)2過A（﹣2，0），C（2，0），頂點坐標(biāo)是（0，4），

設(shè)y=ax2+4，

則4a+4=0，

解得a=﹣1，

∴l(xiāng)2的解析式為y=﹣x2+4；

（2）

解：設(shè)B（x1，y1），

∵點B在l1上，

∴B（x1，x12﹣4），

∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對稱，

∴B、D關(guān)于O對稱，

∴D（﹣x1，﹣x12+4），

將D（﹣x1，﹣x12+4）的坐標(biāo)代入l2：y=﹣x2+4，

∴左邊=右邊，

∴點D在l2上；

（3）

解：當(dāng)y=0時，﹣x2+4=0，

解得：x1=2，x2=﹣2，

所以AC=4，

則SABCD=AC（﹣yB）=﹣4x2+16，

當(dāng)x=0時，SABCD取得最大值16，

∵當(dāng)點B在x軸下方時，﹣4≤y1＜0，

∴S=﹣4y1，它是關(guān)于y1的正比例函數(shù)且S隨y1的增大而減小，

∴當(dāng)y1=﹣4時，S有最大值16，但它沒有最小值，

此時B（0，﹣4）在y軸上，它的對稱點D也在y軸上，

∴AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形

【解析】（1）根據(jù)拋物線l1的解析式求出點A、C的坐標(biāo)，以及頂點坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出l2的頂點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出l2的解析式；（2）設(shè)點B的坐標(biāo)為（x1 ， x12﹣4），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出點D的坐標(biāo)，代入解析式即可證明：點D在l2上；（3）首先表示出S的值，當(dāng)點B在x軸下方時，﹣4≤y1＜0，根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出點B的位置，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明，并求出S最大=16．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．