Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過AD的中點O作EF⊥AD，分別交AB、AC于點E、F，連接DE、DF．
（1）判斷四邊形AFDE是什么四邊形？請說明理由；
（2）若BD=8，CD=3，AE=4，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵O是AD的中點，且EF⊥AD，

∴AE=DE，AF=DF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAO=∠FAO，

∵∠EOA=∠FOA=90°，

∴∠OEA=∠OFA，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DF=DE，

∴四邊形AEDF是菱形．

（2）解：∵四邊形AEDF是菱形，

∴DE∥AC．

∴△BDE∽△BCA．

∴ ，

∴ =

∴AC=

∴CF=AC﹣CF=

【解析】（1）由于O是AD的中點，且EF⊥AD，所以AE=DE，AF=DF，由于AD平分∠BAC，所以∠EAO=∠FAO=90°，從易證AE=AF=DF=DE，所以四邊形AEDF是菱形．（2）由DE∥AC可知△BDE∽△BCA，從而可知 ，代入數據即可求出AC的長度，從而可知CF的長度．