Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2=______.

Answer 1

【答案】36。

【解析】

連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，得到EH，EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到EH，F(xiàn)G等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFGH為菱形，然后根據(jù)菱形的性質得到EG⊥HF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根據(jù)等式的性質，在等式的兩邊同時乘以4，根據(jù)4=22，把等式進行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值

如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，

∵E、H分別是AB、DA的中點，

∴EH是△ABD的中位線，

∴EH=BD=3，

同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，

∴EF=GH=AC=3，F(xiàn)G=BD=3，

∴EH=EF=GH=FG=3，

∴四邊形EFGH為菱形，

∴EG⊥HF，且垂足為O，

∴EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，

在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，

等式兩邊同時乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，

∴（2OE）2+（2OH）2=36，

即EG2+FH2=36．

故答案為：36．