Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試說明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】證明見解析．

【解析】

試題（1）一方面Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，從而可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF．

（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．

試題解析：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．

又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．

∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，

∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF．

（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF∥AD．

∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．

∴四邊形ADFE是平行四邊形．