Question

【題目】數學課上學習了圓周角的概念和性質：“頂點在圓上，兩邊與圓相交”，“同弧所對的圓周角相等”，小明在課后繼續對圓外角和圓內角進行了探究．

下面是他的探究過程，請補充完整：

定義概念：頂點在圓外，兩邊與圓相交的角叫做圓外角，頂點在圓內，兩邊與圓相交的角叫做圓內角．如圖1，∠M為所對的一個圓外角．

(1)請在圖2中畫出所對的一個圓內角；

提出猜想

(2)通過多次畫圖、測量，獲得了兩個猜想：一條弧所對的圓外角______這條弧所對的圓周角；一條弧所對的圓內角______這條弧所對的圓周角；(填“大于”、“等于”或“小于”)

推理證明：

(3)利用圖1或圖2，在以上兩個猜想中任選一個進行證明；

問題解決

經過證明后，上述兩個猜想都是正確的，繼續探究發現，還可以解決下面的問題．

(4)如圖3，F，H是∠CDE的邊DC上兩點，在邊DE上找一點P使得∠FPH最大．請簡述如何確定點P的位置．(寫出思路即可，不要求寫出作法和畫圖)

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）小于；大于（3）見解析（4）見解析

【解析】

（1）在⊙O內任取一點M，連接AM，BM；
（2）觀察圖形，可知：一條弧所對的圓外角小于這條弧所對的圓周角；一條弧所對的圓內角大于這條弧所對的圓周角，此問得解；
（3）（i）BM與⊙O相交于點C，連接AC，利用三角形外角的性質可得出∠ACB=∠M+∠MAC，進而可證出∠ACB＞∠M；（ii）延長BM交⊙O于點C，連接AC，利用三角形外角的性質可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM，進而可證出∠AMB＞∠ACB；
（4）由（2）的結論，可知：當過點F，H的圓與DE相切時，切點即為所求的點P．

（1）如圖2所示．

（2）觀察圖形，可知：一條弧所對的圓外角小于這條弧所對的圓周角；一條弧所對的圓內角大于這條弧所對的圓周角．

故答案為：小于；大于．

（3）證明：（i）如圖1，BM與⊙O相交于點C，連接AC．

∵∠ACB＝∠M+∠MAC，

∴∠ACB＞∠M；

（ii）如圖4，延長BM交⊙O于點C，連接AC．

∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM，

∴∠AMB＞∠ACB．

（4）如圖3，當過點F，H的圓與DE相切時，切點即為所求的點P．