Question

【題目】 AB，CD是的兩條弦，直線AB，CD互相垂直，垂足為點E，連接AD，過點B作，垂足為點F，直線BF交直線CD于點G．

(1)如圖1當點E在外時，連接，求證BE平分∠GBC；

(2)如圖2當點E在內時，連接AC，AG，求證：AC=AG

(3)在(2)條件下，連接BO，若BO平分，求線段EC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EC=2

【解析】

（1）通過圓內接四邊形的性質以及直角三角形中角度的換算證明即可．

（2）通過角度換算利用角邊角定理證明，得出，最后通過線段垂直平分線性質證得．

（3）通過證明進而得到為等邊三角形即可

(1)∵四邊形內接于．

∴，

又∵．

∴可得．

又∵

∴在中，

同理可得在中，．

∴

∴．

又∵．

∴

即平分

(2)如圖所示，連接，

∵

∴在中

同理可得，

∴，

由同弧所對的圓周角相等可得

．

又∵

∴．

在和中，

∴

∴．

∴AB垂直平分CG

∴

(3)延長交于H，連接，，延長交于K交于I．

∵

∴

∵

，即

∵平分且過圓心，

∴垂直平分

∴

∴

∴

又∵．

∴

∴

∵，

∴為等邊三角形

∴

又∵

∴