Question

【題目】（1）如圖1，點為線段外一動點，且，，填空：當點位于__________時，線段的長取到最大值__________，且最大值為；（用含、的式子表示）．

（2）如圖2，若點為線段外一動點，且，，分別以，為邊，作等邊和等邊，連接，．

①圖中與線段相等的線段是線段__________，并說明理由；

②直接寫出線段長的最大值為__________．

（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點為線段外一動點，且，，，請直接寫出線段長的最大值為__________，及此時點的坐標為__________．（提示：等腰直角三角形的三邊長、、滿足）

Answer 1

【答案】CB的延長線上； a+b； CD=BE，證明見解析； 9； ； 或.

【解析】

(1) 根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論; .

(2) ①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE;②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據(1) 中的結論即可得到結果;

(3)連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN,連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=PA=4, BN=AM.根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為如圖2.過P作PE⊥x軸于E,根據等腰直角三角形的性質即可得到結論.

解: (1) ∵點A為線段BC外一動點，且BC=a, AB=b,

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b.

故答案為: CB的延長線上，a+b;

(2) ①CD=BE,

理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.

∴∠CAD=∠EAB,

在△CAD與△EAB中，

∴△CAD≌△EAB (SAS) ，

∴CD=BE.

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上,

∴最大值為BD+BC=AB+BC=9;

故答案為：CD=BE，9.

（3）如圖1：

∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形。

∴PN=PA=2，BN=AM, .

∵A的坐標為(4. 0)，點B的坐標為(10, 0) ,

∴OA=4，OB=10,

∴AB=6.

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

∵

∴最大值為:

如圖2.

過P作PE⊥x軸于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

∴ ,

∴

∴ .

如圖3中，

根據對稱性可知當點P在第四象限時，時，也滿足條件.

綜上所述，滿足條件的點P坐標 或 ，AM的最大值為.

故答案為：， 或