Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+mx+n經過點B（6，1），C（5，0），且與y軸交于點A．

（1）求拋物線的表達式及點A的坐標；

（2）點P是y軸右側拋物線上的一點，過點P作PQ⊥OA，交線段OA的延長線于點Q，如果∠PAB＝45°．求證：△PQA∽△ACB；

（3）若點F是線段AB（不包含端點）上的一點，且點F關于AC的對稱點F′恰好在上述拋物線上，求FF′的長．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+5，點A坐標為（0，5）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）將點B、C代入拋物線解析式y＝x2+mx+n即可；

（2）先證△ABC為直角三角形，再證∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可證△PQA∽△ACB；

（3）做點B關于AC的對稱點B'，求出BB'的坐標，直線AB'的解析式，即可求出點F'的坐標，接著求直線FF'的解析式，求出其與AB的交點即可．

解：（1）將B（6，1），C（5，0）代入拋物線解析式y＝x2+mx+n，

得

解得，m＝﹣，n＝5，

則拋物線的解析式為：y＝x2﹣x+5，點A坐標為（0，5）；

（2）∵AC＝，BC＝，AB＝，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，

當∠PAB＝45°時，點P只能在點B右側，過點P作PQ⊥y 軸于點Q，

∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，

∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，

∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，

又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；

（3）做點B關于AC的對稱點B'，則A，F'，B'三點共線，

由于AC⊥BC，根據對稱性知點B'（4，﹣1），

將B'（4，﹣1）代入直線y＝kx+5，

∴k＝﹣，∴yAB'＝﹣x+5，

聯立解得，x1＝，x2＝0（舍去），

則F'（，﹣），

將B（6，1），B'（4，﹣1）代入直線y＝mx+n，

得，解得，∴yBB'＝x﹣5，

由題意知，kFF'＝KBB'，∴設yFF'＝x+b，

將點F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，

∴yFF'＝x﹣，

聯立解得，

∴F（，），

則FF'＝＝．