Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是線段AB上的一個動點．

（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P為頂點的三角形與以B，C，P為頂點的三角形相似，求AP的長；

（2）若AD=a，BC=b，AB=m，則當a，b，m滿足什么關系時，一定存在點P使△ADP∽△BPC？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）m2﹣4ab≥0；理由見解析；

【解析】

(1)分和兩種情形構建方程求解即可;

(2)由△ADP∽△BPC,可得=,即,整理得: x2﹣mx+ab=0,根據題意△≥0,即可解決問題;

（1）設AP=x．

∵以A，D，P為頂點的三角形與以B，C，P為頂點的三角形相似，

①當=時，=，解得x=2或8．

②當時，，解得x=2，

∴當A，D，P為頂點的三角形與以B，C，P為頂點的三角形相似，AP的值為2或8；

（2）設PA=x，

∵△ADP∽△BPC，

∴=，

∴=，

整理得：x2﹣mx+ab=0，

由題意△≥0，

∴m2﹣4ab≥0．

∴當a，b，m滿足m2﹣4ab≥0時，一定存在點P使△ADP∽△BPC．