Question

【題目】在平面直角坐標系中，三角形△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，BC交x軸于點D.

(1)若A(-4，0)，C(0，2)，求點B的坐標；

(2)若∠EDB=∠ADC，問∠ADE與∠CAD滿足怎樣的關系？并證明.

(3)若AD平分∠BAC，A(-4，0)，D(m，0)，B的縱坐標為n，試探究m、n之間滿足怎樣的關系？

Answer 1

【答案】（1）（2，-2）；（2）∠ADE=2∠CAD；（3）（4+n）2=4m

【解析】

（1）作BE垂直于y軸于點E，證明△ACO≌△CBE，再通過A，C的坐標求出B點坐標即可；（2）∠ADC為△ADB的外角，則∠ADC=∠B+∠DAB，∠AFD是△DFB的外角，∠AFD=∠B+∠EDB，再通過角度轉換得到∠ADE與∠CAD的關系即可（3）作BE垂直于y軸于點E，證明△ACO≌△CBE，再由AD為角平分線，則△COD∽△AOH，通過相似比列出m，n的關系式即可.

（1）作BE垂直于y軸于點E，

∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠BCE，

在△ACO和△CBE中

∴△ACO≌△CBE（AAS）

∵A(-4，0)，C(0，2)，

∴BE=CO=2，CE=AO=4，

∴OE=2，

∴點B的坐標為（2，-2）；

（2）AB，ED的交點記為F，

∠ADC為△ADB的外角，

則∠ADC=∠B+∠DAB，

∵∠ADC=∠EDB，

∴∠EDB=∠B+∠DAB，

∵∠AFD是△DFB的外角，

∴∠AFD=∠B+∠EDB，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠B=∠CAB=45°，

∴∠AFD=90°+∠FAD，

∴∠ADF=180°-（90°+∠FAD）-∠FAD=90°-2∠FAD，

∠FAD=45°-∠CAD，

∴∠ADE=90°-2（45°-∠CAD），

∴∠ADE=2∠CAD；

（3）作BE垂直于y軸于點E，AB與y軸交于點H，

∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠BCE，

在△ACO和△CBE中

∴△ACO≌△CBE（AAS）

∵A(-4，0)，D(m，0)，B的縱坐標為n，

∴CE=AO=4，OE=-n，CO=4+n，

∵AD平分∠CAB，

則AH=AC，CO=OH，

則△COD∽△AOH，

則（4+n）2=4m