Question

【題目】我們知道平行四邊形有很多性質，現在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發現這其中還有更多的結論.

（發現與證明）中，，將沿翻折至，連結.

結論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形；

結論2：.

試證明以上結論.

（應用與探究）

在中，已知，，將沿翻折至，連結.若以、、、為頂點的四邊形是正方形，求的長.（要求畫出圖形）

Answer 1

【答案】【發現與證明】結論1：見解析，結論2：見解析；【應用與探究】AC的長為或2.

【解析】

【發現與證明】由平行四邊形的性質得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA= （180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；

【應用與探究】：分兩種情況：①由正方形的性質得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數即可求出AC；②由正方形的性質和已知條件得出AC=BC=2．

【發現與證明】:∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC,AD∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∵△ABC≌△AB′C，

∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，

∴∠EAC=∠ACB′，

∴AE=CE，

即△ACE是等腰三角形；

∴DE=B′E，

∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°∠B′ED)，

∵∠AEC=∠B′ED，

∴∠ACB′=∠CB′D，

∴B′D∥AC；

【應用與探究】:分兩種情況：①如圖1所示：

∵四邊形ACDB′是正方形，

∴∠CAB′=90°，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=45°，

∴AC=；

②如圖2所示：AC=BC=2；

綜上所述：AC的長為或2.