Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB為直徑的⊙O經過點C，連接AC，OD交于點E．

（1）證明：OD∥BC；

（2）若AD是⊙O的切線，連接BD交于⊙O于點F，連接EF，且OA＝1，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝

【解析】

（1）連接OC，證明△ADO≌△CDO，根據全等三角形的性質得到∠AOD＝∠COD，由圓周角定理可證∠AOD=∠ABC，根據等腰三角形的性質得到∠OBC＝∠OCB，根據平行線的判定定理即可得到結論；

（2）連接AF，過F作FM⊥EF交OD于M，推出△ABD為等腰直角三角形，求得∠AFB＝90°，∠DAF＝∠45°，由△AEF≌△DMF可得AE＝DM，由△AOE∽DOA求出AE的長，進而可求EF的長．

解：（1）連接OC，

∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，

∴△ADO≌△CDO（SSS），

∴∠AOD＝∠COD，

∵∠AOC=2∠ABC，

∴∠AOD=∠ABC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＝∠COD，

∴OD//BC；

（2）連接AF，過F作FM⊥EF交OD于M，

∵AB＝AD，AD是圓的切線，

∴△ABD為等腰直角三角形，

∵AB為直徑，

∴∠AFD＝90°，∠DAF＝∠45°，

∵∠AED＝∠AFD＝90°，

∴∠DAF＝∠DEF＝45°，

∴AF＝DF，

∴∠AFE＝∠DFM，

∵∠EAF＝∠FDM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴AE＝DM．

∵OA＝1，

∴AD=2，

∴OD=，

∵∠AOE=∠AOD，∠AEO=∠OAD，

∴△AOE∽DOA，

∴ ，

∴AE=，

∴DM＝，

∴DE＝，

∴EM＝，

∴EF＝．