Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E；

（1）若B、C在DE的同側（如圖所示）且AD=CE．求證：AB⊥AC；

（2）若B、C在DE的兩側（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC；

（2）同（1），先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC．

（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACE中，

∵，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°．

∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．

∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同（1）一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．