Question

【題目】新定義函數：在y關于x的函數中，若0≤x≤1時，函數y有最大值和最小值，分別記ymax和ymin ， 且滿足 ，則我們稱函數y為“三角形函數”．
（1）若函數y=x+a為“三角形函數”，求a的取值范圍；
（2）判斷函數y=x2﹣ x+1是否為“三角形函數”，并說明理由；
（3）已知函數y=x2﹣2mx+1，若對于0≤x≤1上的任意三個實數a，b，c所對應的三個函數值都能構成一個三角形的三邊長，則求滿足條件的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，

∵y=x+a為三角形函數，

∴ ，

∴a＞1；

（2）

解：是三角形函數，理由如下：

∵對稱軸為直線 ，0≤x≤1，

∴當 ，

∴ ，

∴它是三角形函數；

（3）

解：∵對于0≤x≤1上的任意三個實數a，b，c所對應的三個函數值都能構成一個三角形的三邊長，

∴ ，若a為最小，c為最大，則有 ，同理當b為最小，c為最大時也可得 ，

∴y=x2﹣2mx+1是三角形函數，

∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，

∴對稱軸為直線x=m，

①當m≤0時，當x=0，ymin=1，

當x=1，ymax=﹣2m+2，則2＞﹣2m+2，解得m＞0，

∴無解；

②當 ， ，當x=1，ymax=﹣2m+2， ，

解得0＜m＜1，

∴ ；

③當 ， ，當x=0，ymax=1，則 ，

解得 ，

∴ ；

④當m＞1，當x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，則 ，

解得 ，

∴無解；

綜上述可知m的取值范圍為 或 ．

【解析】（1）由函數的性質可求得其最大值和最小值，由三角形函數的定義可得到關于a的不等式組，可求得a的取值范圍；（2）由拋物線解析式可求得其對稱軸，由x的范圍可求得其最大值和最小值，滿足三角形函數的定義；（3）由三角形的三邊關系可判斷函數y=x2﹣2mx+1為三角形函數，再利用三角形函數的定義分別得到關于m的不等式組，即可求得m所滿足的不等式，可求得m的取值范圍．