Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題．

（1）探究1：小強看到圖（*）后，很快發現AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：

證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM．

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵點E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFC（ASA）

∴AE=EF

（2）探究2：小強繼續探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發現AE=EF仍然成立，請你證明這一結論．

（3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由．

Answer 1

【答案】（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析

【解析】試題分析：（2）在AB上截取AM=EC，然后證明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角邊角”證明△AEM和△EFC全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可證明；

（3）延長BA到M，使AM=CE，然后證明∠BME=45°，從而得到∠BME=∠ECF，再利用兩直線平行，內錯角相等證明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角邊角”證明△MAE和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證．

試題解析：（2）探究2，證明：在AB上截取AM=EC，連接ME，

由（1）知∠EAM=∠FEC，

∵AM=EC，AB=BC，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=∠ECF=135°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

又∵∠EAM+∠AEB=90°，

∴∠EAM=∠FEC，

在△AEM和△EFC中， ，

∴△AEM≌△EFC（ASA），

∴AE=EF；

（3）探究3：成立，

證明：延長BA到M，使AM=CE，連接ME，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠BME=∠ECF=45°，

又∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

又∵∠MAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，

即∠MAE=∠CEF，

在△MAE和△CEF中，

，

∴△MAE≌△CEF（ASA），

∴AE=EF．