Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=6，CE=2，求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)2.

【解析】

（1）連結OC，如圖，先根據切線的性質得∠BAD=90°，再根據平行線的性質，由OD∥BC得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，接著證明△AOD≌△COD，得到∠OCD=∠OAD=90°，于是可根據切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；

（2）設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中利用勾股定理得到r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2，再利用正切函數求出∠COE=60°，然后根據扇形面積公式和S陰影部分=S△COE﹣S扇形BOC進行計算即可．

解：（1）連結OC，如圖，∵AD為⊙O的切線，∴AD⊥AB，∴∠BAD=90°，

∵OD∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵OB=OC，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，

在△OCD和△OAD中，，

∴△AOD≌△COD（SAS）；

∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中，∵OC2+CE2=OE2，

∴r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2，∵tan∠COE===，

∴∠COE=60°，

∴S陰影部分=S△COE﹣S扇形BOC=×2×2﹣

=2﹣π．