Question

【題目】在平面直角坐標系中有，為原點，，，將此三角形繞點順時針旋轉得到，拋物線過三點．

（1）求此拋物線的解析式及頂點的坐標；

（2）直線與拋物線交于兩點，若，求的值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點使得為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；點；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．

【解析】

（1）用待定系數法可求拋物線的解析式，進行配成頂點式即可寫出頂點坐標；

（2）將直線與拋物線聯立，通過根與系數關系得到，，再通過得出，通過變形得出代入即可求出的值；

（3）分：， ， 三種情況分別利用勾股定理進行討論即可．

（1）∵，，

∵繞點順時針旋轉，得到，

∴點的坐標為：，

將點A,B代入拋物線中得

解得

∴此拋物線的解析式為：

∵；

∴點

（2）直線：與拋物線的對稱軸交點的坐標為，

交拋物線于，，

由得：

∴，

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

（3）存在，或，，

∴

設點

，

若，則

即

∴或

若，則

即

∴

若，則

即

∴

即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).