Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連結AE．F為AE上一點，且∠BFE=∠C．

(1)ΔABF與ΔADE相似嗎？說說你的理由．

(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長．

(3)在(1)、(2)的條件下，若AD=3，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）相似，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，再由已知條件和鄰補角的性質得出∠AFB=∠D，即可得出△ABF∽△EAD；

（2）先證出為直角三角形，由直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半可得，設，結合已知根據勾股定理可列出方程，解方程即可求得結果；

（3）由△ABF∽△EAD，得出，即可求出BF．

解：（1）相似，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，

∵∠BFE=∠C，

∴∠BFE+∠D=180°，

又∵∠BFE+∠AFB=180°，

∴∠AFB=∠D，

∴△ABF∽△EAD；

（2）∵AB∥CD，BE⊥CD，

∴BE⊥AB，則∠ABE=90°，為直角三角形，

∵∠BAE=30°，

∴，

∵，設，則，由勾股定理得：

，即，

解得：，

∴；

（3）由（1）得：△ABF∽△EAD，

∴，

∵AD=3，，，

∴，

∴．