Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．

（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根？

（2）設x1、x2是方程的兩根，且x12+x22=22+x1x2，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）m＞﹣2；（2）實數m的值為1．

【解析】分析：

（1）根據“一元二次方程中，當根的判別式△=時，方程有兩個不相等的實數根”列出不等式進行解答即可；

（2）根據“一元二次方程根與系數的關系”可得，將所得等式代入x12+x22=22+x1x2中得到關于m的方程，并結合（1）中所得m的取值范圍即可求得m的值.

詳解：

（1）由題意可得：在關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中，

△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，

∵關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有兩個不相等的實數根時，

∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；

（2）根據一元二次方程根與系數之間的關系，

得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，

∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，

∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），

化簡，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合題意，舍去），

∴實數m的值為1．