Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別是AB、BC的中點，過點C作CF∥AB，與DE的延長線并交于點F，連接BF．

（1）試判斷四邊形CDBF的形狀，并說明理由；

（2）若CD＝5，sin∠CAB＝，過點C作CH⊥BF，垂足為H點，試求CH的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形CDBF是菱形，見解析；（2）CH＝．

【解析】

（1）證出DE是△ABC的中位線，得出DE∥AC，AC＝2DE，證出四邊形CDBF是平行四邊形，由直角三角形的性質得出CD＝AB＝BD，即可得出四邊形CDBF是菱形；

（2）由直角三角形的性質得出AB＝2CD＝10，求出BC＝6，由勾股定理得出AC＝＝8，得出DE＝AC＝4，由菱形的性質得出DF＝2DE＝8，BF＝CD＝5，由菱形CDBF的面積即可得出結果．

解：（1）四邊形CDBF是菱形，理由如下：

∵點D、E分別是AB、BC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AC，AC＝2DE，

∴DF∥AC，

∵CF∥AB，

∴四邊形CDBF是平行四邊形，

∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，

∴CD＝AB＝BD，

∴四邊形CDBF是菱形；

（2）如圖所示：

∵∠ACB＝90°，CD＝5，

∴AB＝2CD＝10，

∵sin∠CAB＝＝，

∴BC＝6，

∴AC＝＝8，

∴DE＝AC＝4，

∵四邊形CDBF是菱形，

∴DF＝2DE＝8，BF＝CD＝5，

∵菱形CDBF的面積＝BF×CH＝×BC×DF＝×6×8＝24，

∴CH＝．