Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，AB＝4，點D是邊AC上一點，且AD＝1，點E是AB邊上一點，連接DE，以線段DE為直角邊作等腰直角△DEF（D、E、F三點依次呈逆時針方向），當點F恰好落在BC邊上時，則AE的長是_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

分兩種情況：①當∠DEF＝90°時，證明△CDF∽△BFE，得出，求出BF＝，得出CF＝BC﹣BF＝，得出BE＝，即可得出答案；

②當∠EDF＝90°時，同①得△CDF∽△BFE，得出，求出BF＝CD＝3，得出CF＝BC﹣BF＝，得出BE＝CF＝2，即可得出答案．

解：分兩種情況：

①當∠DEF＝90°時，如圖1所示：

∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，

∴AC＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠EFD＝∠EDF＝45°，BC＝AB＝4，DF＝EF，

∵AD＝1，

∴CD＝AC﹣AD＝3，

∵∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠B+∠BEF，

∴∠CFD＝∠BEF，

∴△CDF∽△BFE，

∴，

∴BF＝，

∴CF＝BC﹣BF＝4﹣＝，

∴BE＝＝，

∴AE＝AB﹣BE＝；

②當∠EDF＝90°時，如圖2所示：

同①得：△CDF∽△BFE，

∴，

∴BF＝CD＝3，

∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝，

∴BE＝CF＝2，

∴AE＝AB﹣BE＝2；

綜上所述，AE的長是或2；

故答案為：或2．