Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點G在AD上，且GD＝AB＝1，AG＝3，點E是線段BC上的一個動點（點E不與點B、C重合），連接GB、GE，△GBE與△GFE關于直線GE對稱，當點F落在直線BC和直線DC上時，則所有滿足條件的線段BE的長是_____．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

△在矩形ABCD中，點E在線段BC上運動時，△GBE關于直線GE對稱的△GFE的頂點F在以點G為圓心，以GB為半徑的圓上，圓與矩形的邊BC、DC所在直線的交點即為點F，連接GF得等腰三角形，作等腰三角形的高，交BC于點E，根據勾股定理、相似三角形的性質，全等即可求BE的長．

解：如圖，

△在矩形ABCD中，點E在線段BC上運動時，

△GBE關于直線GE對稱的△GFE的頂點F在以點G為圓心，

以GB為半徑的圓上，

圓與矩形的邊BC、DC所在直線的交點分別為點F1、F2，

連接GF1、GF2 得等腰三角形BGF1 和等腰三角形BGF2，

作GE1⊥BF1，GM⊥BF2 交BC于點E2，

①∵四邊形ABE1G是矩形，

∴BE1＝AG＝3；

②在矩形ABCD中，GD＝AB＝1，AG＝3，

∴BG＝＝，

∴GF2＝，

∵GD＝DC＝1，

∴DF2＝＝3，

∴CF2＝DF2﹣DC＝2，

∴BF2＝＝＝2，

∵GM⊥BF2，

∴BM＝BF2＝，

∵∠BME2＝∠BCF2＝90°，

∠MBE2＝∠CBF2，

∴△BME2∽△BCF2，

∴＝，

即＝，

∴BE2＝．

所以所有滿足條件的線段BE的長是3或．

故答案為：3或．