Question

【題目】（定義）連結三角形一個頂點及這個頂點所對邊上的任意一點，若構成的線段能將三角形分割成兩個等腰三角形，則稱這條線段是這個三角形的完美分割線．

（嘗試）

（1）如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，請用直尺和圓規畫出△ABC 的完美分割線．

（2）若一個直角三角形有兩條完美分割線，請求出這個直角三角形最小內角的度數．

（探究）

（3）一個等腰三角形的腰長為 8，其中一條完美分割線分得的兩個三角形中有一個三角形與原三角形相似，求對應完美分割線的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）22.5度；（3）完美分割線的長度為或

【解析】

（1）作AB邊的垂直平分線交AB于P，連接CP，則線段CP即為△ABC 的完美分割線；

（2）根據完美分割線的定義可知，直角三角形有兩條完美分割線時，其中一條是斜邊上的中線，另一條會構成等腰直角三角形，據此求解即可；

（3）分三種情況討論：①當原三角形為銳角三角形時，②當原三角形為直角三角形時，③當原三角形為鈍角三角形時，分別作出圖形，利用相似三角形的性質計算即可．

解：（1）如圖所示，線段CP即為△ABC 的完美分割線；

（2）∵直角三角形有兩條完美分割線，

∴其中一條是斜邊上的中線，另一條會構成等腰直角三角形，

如圖1，∠C＝90°，BC＝CP，PB＝PA，

∴∠CBP＝∠CPB＝45°，

∴∠A＝∠PBA＝22.5°，

∴∠ABC＝90°－22.5°＝67.5°，

如圖2，P為AB中點，則PB＝PC＝PA，

即CP也是△ABC的完美分割線，

故這個直角三角形最小內角的度數為22.5°；

（3）①當原三角形為銳角三角形時，如圖所示，BP為完美分割線，

設BP＝x，

∵AB＝AC＝8，△ABC∽△BCP，

∴，即，

解得：或（舍去），

即完美分割線BP的長度為；

②當原三角形為直角三角形時，由題意可知該三角形為等腰直角三角形，如圖所示，BP為完美分割線，

∵AB＝BC＝8，

∴AC＝，

∴BP＝，

即完美分割線BP的長度為；

③當原三角形為鈍角三角形時，如圖所示，BP為完美分割線，

設BP＝x，

∵BA＝BC＝8，△BPC∽△CBA，

∴，即，

得：或（舍去），

即完美分割線BP的長度為；

綜上：對應完美分割線的長度為或．