Question

【題目】如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C．

（1）求證：直線PB與⊙O相切；
（2）PO的延長線與⊙O交于點E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點．

∵⊙O與PA相切于點C， ∴OC⊥PA

（2）解：設PO交⊙O于F，連接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O與PA相切于點C， ∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直徑， ∴∠ECF=90°．

設CF=x，則EC=2x．

則x2+（2x）2=62， 解得x= ．

則EC=2x= ．

【解析】要證明直線PB與⊙O相切，添加輔助線連接OC，作OD⊥PB于D點，再證明OD是圓的半徑，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等及切線的性質，易證得結論。
（2）根據已知易證得△PCF∽△PEC，得出對應邊成比例，證出CF：CE=1：2．再根據EF是直徑得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理求解即可。