Question

【題目】某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發現該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價x（元）之間滿足一次函數關系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本．
（1）求出y與x的函數關系式；
（2）當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是多少元？
（3）設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設y=kx+b，

把（22，36）與（24，32）代入得： ，

解得： ，

則y=﹣2x+80

（2）解：設當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是x元，

根據題意得：（x﹣20）y=150，

則（x﹣20）（﹣2x+80）=150，

整理得：x2﹣60x+875=0，

（x﹣25）（x﹣35）=0，

解得：x1=25，x2=35（不合題意舍去），

答：每本紀念冊的銷售單價是25元

（3）解：由題意可得：

w=（x﹣20）（﹣2x+80）

=﹣2x2+120x﹣1600

=﹣2（x﹣30）2+200，

此時當x=30時，w最大，

又∵售價不低于20元且不高于28元，

∴x＜30時，y隨x的增大而增大，即當x=28時，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），

答：該紀念冊銷售單價定為28元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是192元

【解析】1）抓住已知條件，y是x的一次函數，因此設y=kx+b，根據題意，利用待定系數法，建立方程組，解方程組求解，即可求出y與x的函數關系式。
（2）等量關系：（售價-進價）×銷售量y=150，建立方程求解，再根據售價不低于20元且不高于28元，進而求出答案。
（3）根據w=（售價-進價）×銷售量，列出函數關系式，將此函數解析式轉化為頂點式，進而利用二次函數增減性及售價不低于20元且不高于28元求出答案。