Question

【題目】如圖，是正方形的邊延長線上一點，連接，過頂點作，垂足為，交邊于點．

（1）求證：．

（2）連接，求的大小．

（3）過點作交于點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據正方形的性質和垂直的定義得到∠ABC=∠GFC，由對頂角相等得到∠AGB=∠FGC，得到△AGB∽△CGF，根據相似三角形的性質證明結論；

（2）連接AC，證明△AGC∽△BGF，根據相似三角形的性質得到∠ACB=∠BFA，再根據正方形的性質解答即可；

（3）由平行線的性質得到∠CMF=∠AFB=45°，可得△CFM為等腰直角三角形，可得MF=CF，CM=CF，則AF-CF=AF-FM=AM，再證△AMC∽△BFC，由相似三角形的性質等量代換即可得出結論.

（1）∵四邊形為正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）連接.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴△AGC∽△BGF，

∴∠ACB=∠BFA.

∵四邊形為正方形，為對角線，

∴，

∴；

（3）如圖

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

∵，

∴，

∴△AMC∽△BFC.

∴，

∵，

∴，

∴.