Question

【題目】如圖，點A，B，C在⊙O上，AB∥OC．

(1)求證：∠ACB+∠BOC＝90°；

(2)若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BC的長度．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BC＝6．

【解析】

(1)根據圓周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根據平行線的性質和等腰三角形的性質得出∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案；

(2)求出△BOC≌△DOC，根據全等三角形的性質得出BC＝CD，根據勾股定理求出CD即可．

(1)證明：∵圓弧AB對的圓周角是∠ACB，對的圓心角是∠AOB，

∴∠AOB＝2∠ACB，

∵OB＝OA，

∴∠ABO＝∠BAO，

∵AB∥OC，

∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，

∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°，

即2∠ACB+2∠BOC＝180°，

∴∠ACB+∠BOC＝90°；

(2)延長AO交⊙O于D，連接CD，

則∠ACD＝90°，

由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，

∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO，

∵∠BAO＝∠ABO，

∴∠BOC＝∠COD，

在△BOC和△DOC中

∴△BOC≌△DOC(SAS)，

∴BC＝CD，

∵CD＝6，

∴BC＝6．