Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．
（1）求證：DF=AE；
（2）當AB=2時，求BE2的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接CF，

在Rt△CDF和Rt△CEF中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），

∴DF=EF，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠EAF=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

∴DF=AE

（2）解：∵AB=2，

∴AC= AB=2 ，

∵CE=CD，

∴AE=2 ﹣2，

過點E作EH⊥AB于H，

則△AEH是等腰直角三角形，

∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣ ，

∴BH=2﹣（2﹣ ）= ，

在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（ ）2+（2﹣ ）2=8﹣4 ．

【解析】（1）連接CF，根據“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=EF，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得AE=EF，然后等量代換即可得證；（2）根據正方形的對角線等于邊長的 倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．