Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，仍以每秒1個(gè)單位的速度，沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)，連接QP，QD，PD．若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（0＜x≤3），解答下列問(wèn)題：

（1）設(shè)△QPD的面積為S，用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最小值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=4，CD=AB=3，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，則AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，

∴S△ADQ= ADAQ= ×4x=2x，S△BPQ= BQBP= （3﹣x）x= x﹣ x2，S△PCD= PCCD= （4﹣x）3=6﹣ x，

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（ x﹣ x2）﹣（6﹣ x）= x2﹣2x+6= （x﹣2）2+4，

即S= （x﹣2）2+4，

∴S為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為x=2，

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S隨x的增大而減小，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，S隨x的增大而增大，

又當(dāng)x=0時(shí)，S=5，當(dāng)S=3時(shí)，S= ，但x的范圍內(nèi)取不到x=0，

∴S不存在最大值，當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值，最小值為4

（2）

解：存在，理由如下：

由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，

當(dāng)QP⊥DP時(shí)，則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，

∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，

∴△BPQ∽△PCD，

∴ ，即 ，解得x= （舍去）或x= ，

∴當(dāng)x= 時(shí)QP⊥DP

【解析】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，從而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面積，則可表示出S，再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，當(dāng)QP⊥DP時(shí)，可證明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值．本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等．在（1）中求得S關(guān)于x的關(guān)系式后，求S的最值時(shí)需要注意x的范圍，在（2）中證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值和矩形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等．