Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結論：①∠AED=∠CED；②AB=HF，③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤OE=OD；其中正確結論的序號是

Answer 1

【答案】①③⑤
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE= AB，∵AD= AB，∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，

∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正確；
∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等邊三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故②錯誤；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，

∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正確；
∵HE=AE-AH=BC-CD，∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；
∵AB=AH，∵∠AHB= ∠OHE=∠AHB（對頂角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故⑤正確；
綜上所述，結論正確的是①③④⑤共4個．
故答案為①③④⑤.
①根據角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AE=AB,從而得AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DH，再根據等腰三角形兩底角相等∠ADE=∠AED=67.5°，根據平角等于180°求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；
②判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到②錯誤．
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；
④根據全等三角形對應邊相等可得DF=HE，然后根據HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF==2HE．判斷出④正確；
⑤求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據等角對等邊可得OE=OD=OH，判斷出⑤正確.