Question

【題目】如圖，以BC為直徑的⊙O交的邊AB于E，點D在⊙O上，且DE∥BC，連BD并延長交CA于F，∠CBF＝∠A．

（1）求證：CA是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，BD＝2BE，則DE長為　 　（直接寫答案）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接CE，構造直角，通過平行的性持，圓周角定理等進行角的代換，證明∠A+∠BCA＝90°可得出結論；

（2）先證明△BED與△BFA相似，得出BF與BA的比值為 ，再證明△BCF和△ACB相似，且相似比為，再次利用△BED與△BFA相似即可求出結果．

（1）證明：連接CE，

∵DE∥BC，

∴∠BDE＝∠CBF，

∵∠CBF＝∠A，∠BDE＝∠BCE，

∴∠BCE＝∠A，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CEB＝90°，

∴∠CBA+∠BCE＝90°，

∴∠CBA+∠A＝90°，

∴∠BCA＝90°

∴OC⊥CA，

又∵OC為半徑，

∴CA是⊙O的切線．

（2）連接CD，

由（1）知∠BDE＝∠A，

∵∠DBE＝∠DBE，

∴△BDE∽△BAE，

∴，

由（1）知∠CBF＝∠A，

∵∠BCF＝∠BCF，

∴△BCF∽△ACB，

∴，

∵BC＝4，

∴CF＝2，AC＝8，AF＝AC﹣CF＝6，

∵BF＝＝2，

∴AB＝4，

∵∠BDC＝∠BCF＝90°，∠CBF＝∠CBF，

∴△BCD∽△BFC，

∴，

∴，

∴BD＝，

∵△BDE∽△BAE，

∴，

∴，

∴DE＝．

故答案為．