Question

【題目】定義：三角形一邊的中線與這邊上的高線之比稱為這邊上的中高比．
（1）直接寫出等腰直角三角形腰上的中高比為 ．
（2）已知一個直角三角形一邊上的中高比為5：4，求它的最小內角的正切值．
（3）如圖，已知函數y= （x+4）（x﹣m）與x軸交于A、B兩點，與y軸的負半軸交于點C，對稱軸與x的正半軸交于點D，若△ABC中AB邊上的中高比為5：4，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：①當斜邊上的中高比為5：4時，設高線為4k，則此邊上的中線為5k，如圖2，

在△ABC中，∠BAC=90°，

∴AD是高，

∴AD=4x，AE是中線，

∴CE=AE=5x，

在RtADE中，DE= =3k，

∴CD=CE+DE=8k，

∴tan∠C= = = ，

當直角邊上的中高比為5：4時，設高為4k，此邊上的中線為5k，

如圖3，

在△ABC中，∠BAC=90°，AB是AC邊上的高，為4k，BD為AC邊上的中線，為5k，

根據勾股定理得，AD= =3k，

∴AC=2AD=6k，

∴tan∠C= = ，

∴直角三角形的最小內角的正切值為 或 ；

（3）

解：∵函數y= （x+4）（x﹣m）與x軸交于A、B兩點，

∴令y=0，∴0= （x+4）（x﹣m），

∴x=﹣4或x=m，

∴A（﹣4，0），B（m，0），

∵點C是拋物線與y軸的交點，

∴C（0，﹣ ），

∵對稱軸與x的正半軸交于點D，

∴D（ ，0），

在Rt△COD中，設CD=5k，

∴OC=4k，

根據勾股定理得，OD=3k，

∴ ，∴ ，

即m的值為10．

【解析】解：（1）如圖1，

設等腰直角三角形的直角邊為2x，
∴BC邊上的高為AB=2x，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD= BC=x，
在Rt△ABD中，根據勾股定理得，AD= = x，
∴等腰直角三角形腰上的中高比為 = ，
所以答案是： ；