Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，BD是對角線．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，請證明四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴AE= AB，CF= CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

∵ ，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2））證明：∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DF= DC，BE= AB，

又∵在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四邊形DEBF為平行四邊形，

∵DB⊥BC，

∴∠DBC=90°，

∴△DBC為直角三角形，

又∵F為邊DC的中點，

∴BF= DC=DF，

又∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴四邊形DEBF是菱形．

【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．（2）利用平行四邊形的性質結合平行四邊形的判定與性質得出四邊形DEBF為平行四邊形，進而得出BF= DC=DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．