Question

【題目】已知⊙O及⊙O外一點P．

（1）方法證明：如何用直尺和圓規過點P作⊙O的一條切線呢？小明設計了如圖①所示的方法：

①連接OP，以OP為直徑作⊙O′；

②⊙O′與⊙O相交于點A，作直線PA．

則直線PA即為所作的過點P的⊙O的一條切線．

請證明小明作圖方法的正確性．

（2）方法遷移：如圖②，已知線段l，過點P作一條直線與⊙O相交，且該直線被⊙O所截得的弦長等于l．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接OA，只要證明OA⊥PA即可．

（2）在大圓⊙O上取點E，截取EF=線段l，交大圓⊙O于點F，作EF的垂直平分線OC，垂足為C，以點O為圓心，OC為半徑作小圓⊙O，連接OP，以OP為直徑作圓⊙A，交小圓⊙O于點D，連接OD、PD并延長到Q，與大圓⊙O交于點G、H，則OD⊥PD，垂足為D，由OD=OC，可得GH=EF=線段l．

（1）證明：如圖①中，連接OA．

∵OP是直徑，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線．

（2）解：作法：在大圓⊙O上取點E，截取EF=線段l，交大圓⊙O于點F，

作EF的垂直平分線OC，垂足為C，

以點O為圓心，OC為半徑作小圓⊙O，

連接OP，以OP為直徑作圓⊙A，

交小圓⊙O于點D，

連接OD，PD并延長到Q，與大圓⊙O交于點G、H，

因為OP是⊙A的直徑，

所以∠PDO=90°．則OD⊥PD，垂足為D，

∵OD=OC，

∴GH=EF=線段l．