Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

（3）假若△PAC為直角三角形，直接寫出點P坐標。

Answer 1

【答案】（1）y=2x2-8x+6（2）存在， （3）（3，5）

【解析】

（1）已知B（4，m）在直線y＝x＋2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過待定系數法即可求得解析式；

（2）設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，化成頂點式即可；

（3）當△PAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．

（1）∵B（4，m）在直線y＝x＋2上，

∴m＝4＋2＝6，

∴B（4，6），

∵A（，），B（4，6）在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝2x28x＋6；

（2）設動點P的坐標為（n，n＋2），則C點的坐標為（n，2n28n＋6），

∴PC＝（n＋2）（2n28n＋6）＝2n2＋9n4＝2（n）2＋，

∵PC＞0，

∴當n＝時，線段PC最大且為；

（3）∵△PAC為直角三角形，

i）若點P為直角頂點，則∠APC＝90°．

由題意易知，PC∥y軸，∠APC＝45°，因此這種情形不存在；

ii）若點A為直角頂點，則∠PAC＝90°．

如圖1，

過點A（，）作AN⊥x軸于點N，則ON＝，AN＝，

過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，

則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，

∴MN＝AN＝，

∴OM＝ON＋MN＝＋＝3，

∴M（3，0）．

設直線AM的解析式為：y＝kx＋b，

則：，

解得，

∴直線AM的解析式為：y＝x＋3 ①

又拋物線的解析式為：y＝2x28x＋6 ②

聯立①②式，解得：x＝3或x＝（與點A重合，舍去）

∴C（3，0），即點C、M點重合；

當x＝3時，y＝x＋2＝5，

∴P1（3，5）；

iii）若點C為直角頂點，則∠ACP＝90°．

∵y＝2x28x＋6＝2（x2）22，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2．

如圖2，作點A（，））關于對稱軸x＝2的對稱點C，

則點C在拋物線上，且C（，），

當x＝時，y＝x＋2＝，

∴P2（，）．

∵點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，

∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）．