Question

【題目】如圖，中，，，.點從點 出發，沿著運動，速度為個單位/，在點運動的過程中，以為圓心的圓始終與斜邊相切,設⊙的面積為，點的運動時間為（）（）.

（1）當時， ；（用含的式子表示）

（2）求與的函數表達式；

（3）在⊙P運動過程中，當⊙P與三角形ABC的另一邊也相切時，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）7-t（2）（3）

【解析】

（1）先判斷出點P在BC上，即可得出結論；

（2）分點P在邊AC和BC上兩種情況：利用相似三角形的性質得出比例式建立方程求解即可得出結論；

（3）分點P在邊AC和BC上兩種情況：借助（2）求出的圓P的半徑等于PC，建立方程求解即可得出結論．

（1）∵AC=4，BC=3，∴AC+BC=7．

∵4＜t＜7，∴點P在邊BC上，∴BP=7﹣t．

故答案為：7﹣t；

（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根據勾股定理得：AB=5，由運動知，AP=t，分兩種情況討論：

①當點P在邊AC上時，即：0＜t≤4，如圖1，記⊙P與邊AB的切點為H，連接PH，∴∠AHP=90°=∠ACB．

∵∠A=∠A，∴△APH∽△ACB，∴，∴，∴PHt，∴Sπt2；

②當點P在邊BC上時，即：4＜t＜7，如圖，記⊙P與邊AB的切點為G，連接PG，∴∠BGP=90°=∠C．

∵∠B=∠B，∴△BGP∽△BCA，∴，∴，∴PG（7﹣t），∴Sπ（7﹣t）2．

綜上所述：S；

（3）分兩種情況討論：

①當點P在邊AC上時，即：0＜t≤4，由（2）知，⊙P的半徑PHt．

∵⊙P與△ABC的另一邊相切，即：⊙P和邊BC相切，∴PC=PH．

∵PC=4﹣t，∴4﹣tt，∴t秒；

②當點P在邊BC上時，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半徑PG（7﹣t）．

∵⊙P與△ABC的另一邊相切，即：⊙P和邊AC相切，∴PC=PG．

∵PC=t﹣4，∴t﹣4（7﹣t），∴t秒．

綜上所述：在⊙P運動過程中，當⊙P與三角形ABC的另一邊也相切時，t的值為秒或秒．