Question

【題目】如圖1，已知∠MON=140°，∠AOC與∠BOC互余，OC平分∠MOB，

（1）在圖1中，若∠AOC=40°，則∠BOC= °，∠NOB= °．

（2）在圖1中，設∠AOC=α，∠NOB=β，請探究α與β之間的數量關系（ 必須寫出推理的主要過程，但每一步后面不必寫出理由）；

（3）在已知條件不變的前提下，當∠AOB繞著點O順時針轉動到如圖2的位置，此時α與β之間的數量關系是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出此時α與β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】解：（1）50，40；（2）β=2α﹣40°;（3）不成立，此時此時α與β之間的數量關系為：2α+β=40°.

【解析】

（1）先根據余角的定義計算∠BOC=50°，再由角平分線的定義計算∠BOM=100°，根據角的差可得∠BON的度數；

（2）同理先計算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根據∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；

（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根據∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可．

（1）如圖1，

∵∠AOC與∠BOC互余，

∴∠AOC+∠BOC=90°，

∵∠AOC=40°，

∴∠BOC=50°，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOC=∠BOC=50°，

∴∠BOM=100°，

∵∠MON=40°，

∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，

（2）β=2α-40°，理由是：

如圖1，∵∠AOC=α，

∴∠BOC=90°-α，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，

又∵∠MON=∠BOM+∠BON，

∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°；

（3）不成立，此時此時α與β之間的數量關系為：2α+β=40°，

理由是：如圖2，

∵∠AOC=α，∠NOB=β，

∴∠BOC=90°-α，

∵OC平分∠MOB，

∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，

∵∠BOM=∠MON+∠BON，

∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，

答：不成立，此時此時α與β之間的數量關系為：2α+β=40.