Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD，使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB＝8，AD＝10，并設點B坐標為（m，0），其中m＜0．

（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；

（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如圖2，設拋物線y＝a（x﹣m+6）2+h經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（m﹣10，3），點F的坐標為（m﹣6，0）；（2）m＝﹣6或﹣4或﹣；（3）a＝，h＝﹣1，m＝﹣12

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是矩形以及由折疊對稱性得出AF=AD=10，EF=DE，進而求出BF的長，即可得出E，F點的坐標；
（2）分三種情況討論：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用等腰三角形性質和勾股定理求出即可；
（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函數解析式得出M點的坐標，再證△AOB∽△AMG，根據相似三角形性質可求出m的值即可．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，

由折疊對稱性：AF＝AD＝10，FE＝DE，

在Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴FC＝4，

設DE＝x，則CE＝8﹣x，

在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，

∴CE＝8﹣x＝3，

∵點B的坐標為（m，0），

∴點E的坐標為（m﹣10，3），點F的坐標為（m﹣6，0）；

（2）分三種情形討論：

若AO＝AF，

∵AB⊥OF，BF＝6，

∴OB＝BF＝6，

∴m＝﹣6；

若OF＝AF，則m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；

若AO＝OF，

在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，

∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；

由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣；

（3）由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），

∵拋物線y＝a（x﹣m+6）2+h經過A、E兩點，

∴，

解得，，

∴該拋物線的解析式為y＝（x﹣m+6）2﹣1，

∴點M的坐標為（m﹣6，﹣1），

設對稱軸交AD于G，

∴G（m﹣6，8），

∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，

∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，

∴∠OAB＝∠MAG，

又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，

∴△AOB∽△AMG，

∴，

即，

解得，m＝﹣12，

由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12．